Allora, mi sono documentato un pochino e ho fatto dei conti.
Vi propongo:
1. una precisazione sulla velocità limite di caduta in aria
2. un argomento euristico per stabilire qualche stima della dinamica di rallentamento di una caduta in aria
3. una mia personale conclusione

1. Velocità limite di caduta in aria
Un oggetto che cade in un mezzo viscoso - come l'aria - subisce due tipi di "rallentamento": attrito viscoso e resistenza aerodinamica. Il primo è dominante solo per velocità molto basse (per capirci... bisognerebbe dire per bassissimi numeri di Reynolds), il secondo diventa dominante per velocità più alte, che sono quelle che ci interessano. L'espressione della resistenza aerodinamica, come già accennato da Rox, prevede una dipendenza dal quadrato della velocità:

F_d = k*v²

dove k è il coefficiente di resistenza idraulica, che dipende dalla densità del mezzo (d), dalla sezione del corpo in direzione trasversale al moto (S) e dal coefficiente di resistenza aerodinamica (C_d, quello che molti conoscono come "coefficiente di penetrazione", il famoso C_x):

k = d*S*C_d/2

Gli indici "d" in pedice
Su un corpo (non necessariamente umano ) in caduta in aria agiscono, sostanzialmente, la forza di gravità e questa forza di resistenza:

F_tot = m*a = m*g - k*v²

Questa equazione (differenziale), risolta per la velocità, fornisce:

v(t) = √(m*g/k) tanh(√(k*g/m) * t)

Dove tanh è la funzione "tangente iperbolica". Questa funzione ha la bellissima caratteristica di assomigliare ad una retta inclinata quando si è vicini allo zero, e di assomigliare ad una retta orizzontale quando ci si allontana: in sostanza la velocità in funzione del tempo inizialmente aumenta di pari passo con lo scorrere del tempo, ma subito inizia ad aumentare sempre meno, avvicinandosi sempre più (e senza mai superare) il famoso valore limite.
Dato che la tangente iperbolica, da sola, si avvicina sempre più al valore 1, dalla nostra legge oraria della velocità abbiamo che quest'ultima si avvicina sempre più al valore:

v_l = √(m*g/k) = √(2*m*g/(d*S*C_d))

Oh! Questo è molto interessante!
Si vedono varie cose, ma queste secondo me sono le più importanti:
a) la velocità limite è tanto più grande quanto maggiore è la massa del corpo
b) la velocità limite è tanto più piccola quanto maggiore è la sezione del corpo in direzione trasversale al moto
...che ci consentono di capire, ad esempio, perché è una buona idea aprire il paracadute (aumentare la sezione) per fare un atterraggio morbido, e perché per un omino giocattolo basta questo:
mentre per l'Apollo 11 (al rientro dalla sua "gita" - più lunga per alcuni, più corta per altri ) ci sono voluti questi:
Ok. Ci siamo?

Alcuni esempi, e andiamo al punto. Tutte le velocità sono arrotondate ferocemente visto che la stima dei coefficienti di penetrazione è davvero arbitraria (1.15 per la monetina, 3 in tutti gli altri casi per avere una sottostima).

Monetina da un centesimo (contando che pesi 5 grammi e abbia una sezione di 1 cm²) che cade di faccia: ~90Km/h

• Uomo in posizione del paracadutista (orizzontale): ~100 Km/h
• Uomo in posizione "a candela": ~300Km/h
• Cubo di cemento armato di 50 cm di lato (300Kg): ~400Km/h
• Cubo di cemento armato di 1 m di lato (2400Kg): ~400Km/h
• Cubo di cemento armato di 2 m di lato (19,2 ton): ~600Km/h
• Cubo di cemento armato di 5 m di lato (300 ton): ~900Km/h
• Cubo di cemento armato di 10 m di lato (2400 ton): ~1200Km/h

Vediamo cosa succede alla velocità nel tempo, usando la nostra bellissima legge oraria con la tangente iperbolica, e confrontandola con la caduta nel vuoto:
Qui le velocità sono in metri al secondo, sull'asse orizzontale il tempo è in secondi.
I cubi di cemento più grossi cadono, in pratica, come nel vuoto.

Vediamo le distanze percorse:
La curva azzurra rappresenta la caduta nel vuoto (400 metri percorsi in 9 secondi netti, sicuramente un primato!).
Seguono a ruota il cubo di 1 metro di lato (2,4 ton, curva blu, 9,5 secondi) e quello di 50cm di lato (300Kg, curva verde, 10 secondi).
Dopo 7 secondi arriva la monetina (curva rossa).

Le curve tratteggiate ci servono nella seconda parte.

2. Rallentamento della caduta in aria
Ora, prendendo per buono che il grosso del crollo abbia causato una frantumazione di tutta la massa dell'edificio in blocchi come il nostro da 300Kg, senza nessuna ricompattazione (mi pare un'assunzione follemente prudenziale - meraviglioso ossimoro) bisogna ora giustificare come si passa dai 10 secondi attesi a... quanto vogliamo fare? 11, 12, 13, 14....?
Propongo il seguente approccio euristico: prendiamo la nostra legge oraria e modifichiamo l'accellerazione di gravità g, assumendo un valore inferiore. E' quello che mostrano le curve tratteggiate del grafico:
- 46% di g ==> 14 secondi
- 53% di g ==> 13 secondi
- 63% di g ==> 12 secondi
- 74% di g ==> 11 secondi
Queste dinamiche "realizzano" di fatto una caduta in aria libera (non nel vuoto) ma sotto l'ulteriore azione di una forza media che contrasta la caduta.
Per stimare questa forza bisogna stimare la massa a cui essa si applica. Una massa piuttosto immane - almeno una decina di piani - e che cresce man mano che progredisce il crollo.
Pare che una singola torre si attesti sulle 450.000 tonnellate, divisa in 110 piani. Facciamo 4.000 tonnellate ogni piano, sono come minimo un maglio di 40.000 tonnellate che si abbatte sui piani sottostanti. Una quota parte di questo peso deve essere contrastato (secondo le percentuali che abbiamo detto) per rallentarne la caduta.
Ora, ciascuno dei piani sottostanti quanto sovraccarico può reggere?
Io non so nulla di ingegneria strutturale ma scommetto che una soletta non regge carichi (aggiunti al suo stesso peso) superiori a un migliaio di N per metro quadrato (mi sembra già tanto). Le torri gemelle erano quadrate, di 70 metri di lato. Fanno 4.900 m², e quindi 4.900 tonnellate di sovraccarico, sopra il quale la soletta cede. Vogliamo raddoppiare? 10.000 tonnellate? A me sembra uno sproposito, ma non ho nessuna sensibilità.

Guarda caso, è il 25% della massa di 40.000 tonnellate in caduta, che ad ogni piano che salta diventa sempre più grossa.
E il fenomeno accelera.
Questa dinamica di crollo coinvolge le solette, non i piloni, che devono essere rimasti in piedi un po', per poi crollare sotto delle inevitabili spinte laterali. Vi risulta?

Dunque... verrebbe da chiedersi come mai ci hanno messo così tanto, così tanto più di 10-11 secondi (74% di g, ovvero una resistenza strutturale in grado di opporre 1/4 di g al grave in caduta).

3. La mia conclusione
Non so se tutto il mio ragionamento fila perfettamente (diciamo che mi convince abbastanza) e soprattutto se non esistono altri argomenti rilevanti per dubitare del crollo senza esplosivo. Ma secondo me l'argomento che dice che il tempo di caduta libera doveva essere molto superiore è scorretto, questo senza dubbio.

Poi ci saranno altri motivi per dubitare... e chi lo può negare.

Ma incominciamo a vedere se siamo d'accordo sulla velocità limite e le altre cose (secondo me elementari, non essendo capace di niente di meglio) che ho esposto.

RiccardoMazzei ha scritto:Poi ci saranno altri motivi per dubitare...

Non so dove hai preso quelle 450'000 tonnellate.
I dati ufficiali di progetto parlano di 172'000 tonnellate di materiali, per entrambe le torri, ovvero 86'000 tonnellate ciascuna.

Inoltre, il peso non era distribuito uniformemente; erano progettate con tre sezioni distinte.
Il primo troncone (in basso) era più massiccio, faceva oltre la metà dell'intero peso.
Quello più alto era il più leggero, proprio perché non aveva niente da sostenere.

Infine, un cubo di cemento ha il peso che dici tu... se è compatto!
Un edificio è formato soprattutto da spazi vuoti: stanze, scale, corridoi, vani ascensori, ecc...
Il cemento è una piccola frazione del volume complessivo.
E' il motivo per cui le navi galleggiano, malgrado siano fatte di ferro.

RiccardoMazzei ha scritto:40.000 tonnellate in caduta, che ad ogni piano che salta diventa sempre più grossa.
E il fenomeno accelera.

Il blocco alto, di 15 piani, pesava circa 7'000 tonnellate, non 40'000.
Inoltre, quella massa non diventa "sempre più grossa", casomai sempre più piccola.

Per semplificare, ho sempre trascurato questo dettaglio; ma in ogni centimetro di crollo, tutti i detriti venivano espulsi verso l'esterno.
Sono stati trovati grossi pezzi, conficcati in palazzi a 50 metri di distanza.



So benissimo che questo produce altre domande inspiegabili, quindi non mi ci voglio soffermare per non frammentare la disscussione.
Tuttavia, non possiamo ignorare che il peso, ad ogni secondo, diminuiva al di sopra della struttura.

Ricca', secondo me dovresti riguardare il filmato, prima di metterti a tavolino con formule e grafici.
Dopo pochi secondi, lì sopra non c'era quasi più niente, ma la torre continuava a crollare ugualmente.
...E con la stessa accelerazione!

Ah, ottimo, Rox. Mi conforti, perché altrimenti era dura far cadere quelle torri in più di 11 secondi.

Comunque, facciamo così: volevo fare due post ma poi non ho resistito.

Sul punto 1. siamo d'accordo?

Inviato con la benevola approvazione del mio HAL9000

Leggendo la spiegazione di RiccardoMazzei mi è venuto un po' un sorriso, perché è parecchio imprecisa e merita di ulteriori approfondimenti per non cadere nel tranello di una dimostrazione semplicistica e per nulla "ingegneristica".
Il NIST può dare, alla gente comune, tutte le spiegazioni che vuole, fare dimostrazioni assurde e incomprensibili, ma che non spaventeranno mai gli addetti ai lavori e chi ci lavora ogni giorno con queste cose.
Siccome c'è già chi ci ha già pensato a dimostrare ciò ch eè accaduto in termini pramente fisici ed ingegneristici, vi metto il link di un sito ove tutto è spiegato nei minimi dettagli: UN'ANALISI INGEGNERISTICA DEL CROLLO DELLE TORRI

OT

No spyke! pensavo in due ore su Excel e due passate a scrivere il post, su dati presi a caso in internet, su siti che parlano anche dei rettiliani di aver fatto piazza pulita di tutti i precedenti studi sull'argomento )

Inviato con la benevola approvazione del mio HAL9000

Rox ha scritto: Sei sul tetto della Torre Nord e ti cade un mazzo di chiavi (o altro oggetto simile).
Secondo Galileo, lo spazio percorso è S = V₀t + 1/2 (a t²).

Con partenza da fermo, V₀ = 0, quindi eliminiamo il primo addendo.
Sappiamo che a = g = 9.8 m/s²; S è l'altezza della torre: 415 m.
A noi interessa il tempo (t), quindi calcoliamo la formula inversa:
t = √ (2 S/a) Ovvero: 9.20 s
Questo è il tempo teorico (nel vuoto) che impiegherebbe il mazzo di chiavi a raggiungere il marciapiede.

La formula è valida nella vita quotidiana, quando una forchetta cade dal tavolo, o quando una fioriera cade dal 3° piano.
Fino a 10... 20... 30 metri di caduta, la velocità raggiunta è modesta, l'aerodinamica può essere trascurata.
Galileo andava sulla Torre di Pisa, che arriva appena a 50 metri, otto volte meno delle Twin Towers.

Oggi sappiamo che l'aria offre una resistenza che varia con il quadrato della velocità.
Con oggetti compatti e pesanti, quell'attrito diventa significativo dopo 70-80 metri di caduta, ovvero dopo appena un settimo dell'altezza delle torri gemelle; poi aumenta sempre di più, non in misura lineare, ma quadratica.

Sapendo questo, vogliamo dare altri 2-3 secondi, a quel mazzo di chiavi? Secondo me sono anche pochi, visto che dovrebbero arrivare a 300 km/h, ma accontentiamoci...
Con questa stima approssimata, siamo arrivati a circa 12 secondi, come tempo di caduta libera.

Ecco, scusate l'assenza ma ero in montagna, con poca rete.
Con la prima parte del mio post dovrei essere riuscito a chiarire che in effetti i tempi attesi sono un pochino diversi: non è vero che senza il resto della torre la parte sovrastante dovrebbe impiegare esattamente lo stesso tempo che si vede nei video (12, 13 secondi, al massimo 14-15, anche se basandosi soltanto su questo dato non credo che basti guardare il video, e fondamentalmente è un dato che non sapremo mai...), ma circa 10 secondi e assolutamente non di più. Almeno due o tre secondi meno di quello che si vede nel video.
Per fare il sunto: l'argomento del mazzo di chiavi è scorretto, nel senso che non basta per dimostrare che stavano cadendo anche i piani sottostanti.
Vorrei che fosse condiviso questo punto prima di continuare.

Poi (e volutamente inserisco un secondo post) possiamo parlare delle colossali inesattezze (se fossero - e sono - tali io li chiamerei errori...) e le eccessive semplificazioni della seconda parte del mio post, ma aveva dichiaratamente un approccio euristico. Come l'argomento del mazzo di chiavi, per intenderci.

I dati più importanti, per quel ragionamento, sono la stima della massa in caduta e la resistenza di un singolo piano.
Sul primo, non so quale fonte sia più autorevole. In giro (e lo sottolineo, non vedo che alternative ci siano al guardare "in giro") da più parti vedo stime incrociate che tornano più con quel dato che usavo io. Ma non so.

Sul secondo... boh. In effetti poi bisognerebbe contare che il peso sopra non si è adagiato come una cristalleria posata con cura... è più come se la cristalleria fosse stata fatta cadere dal vicino del piano di sopra... e l'impatto genera un colpo d'ariete ben superiore alla forza-peso...

RiccardoMazzei ha scritto:Come l'argomento del mazzo di chiavi, per intenderci.

No, Ricca'... Tra il mio mazzo di chiavi ed i tuoi grafici, c'è una bella differenza che riguarda il contesto.
Io parlo di ordini di grandezza, mentre tu cerchi gli "zerovirgola".

Qui non si tratta di distringuere tra solette, travi, piloni e colonne.
Tutto quel materiale è stato disintegrato; un grattacielo di 400 metri ha lasciato un mucchietto di macerie insignificante, mentre tutto il resto si è trasformato in polvere.

Con la tua inclinazione verso la Fisica, dovresti chiederti quanta energia ci vuole, per polverizzare un grattacielo.
Quel "cubetto" superiore ne aveva a sufficienza?... D'accordo, diciamo che ce l'aveva...
Ma per ogni singolo metro di avanzamento, verso il basso, doveva disintegrare 800 tonnellate di acciaio e cemento.

Trascuriamo, per semplicità, che quel cubo avrebbe dovuto polverizzarsi a sua volta.
In uno sforzo di fantasia, supporremo che sia rimasto integro fino al pianterreno, mantenendo costante la sua massa per tutta la durata del fenomeno.

Sappiamo che l'energia cinetica è: 1/2 (m v²)
Se la massa resta invariata, l'energia per polverizzare il grattacielo deve per forza venire dalla velocità.
In altre parole, ogni tonnellata di cemento disintegrato deve produrre un rallentamento del crollo, ma tale rallentamento non può essere di qualche "zerovirgola".

In sostanza, Riccardo, è questo che rende ridicola la spiegazione di Attivissimo.
La caduta sul cemento armato, rispetto a quella in aria libera, non può distinguersi con queste cazzatelle di 1 o 2 secondi.
E' l'ordine di grandezza che non torna.

Se quel "cubo" alto fosse caduto nell'acqua, per 300-400 metri, perfino così avrebbe avuto un rallentamento più significativo.

Dai Rox, basta domande retoriche e discorsi fumosi (o macerie fumanti): fai tutti i numeri che servono per dimostrare il tuo punto, altrimenti sul tavolo rimangono solo dei paragoni inadeguati (l'intera torre di 400m paragonata con una torre di lego alta 83cm e il mazzo di chiavi al posto di un blocco di 10 piani) e dei discorsi allusivi a quantità favolose di energia, mucchi di polvere, "zerovirgola" e "Ricca'...". Sono espedienti retorici, o al più dei "dubbi" ma non degli argomenti su cui fondare delle certezze. Secondo me.

La "spiegazione" di Attivissimo non la conosco.

Quello che posso dirti è che per un rallentamento da 10 a 11 secondi del crollo si può stimare - euristicamente - che sia necessario applicare una forza media in grado di sottrarre un quarto di g all'accellerazione del blocco crollato. E la massa non resta invariata: in parte scivola fuori, in parte aumenta durante il crollo. Davvero difficile stabilire quale fenomeno domina. Il punto è interessante, bada, nella mia mente potrebbe anche essere il fattore di indecisione determinante che non permette di usare il ragionamento euristico (non è una spiegazione non è una spiegazione non è una spiegazione ...).
Attenendosi al solo blocco superiore - siano pure 7000 tonnellate e non 40000, non lo so - fanno 400 (m) * 9.8/4 x* 7 * 10^6 (N) ~ 7 * 10^9 (J) ~ 10 GJ
Ordine di grandezza, eh, non ha importanza la cifra esatta, è tutto così incerto...
Alla faccia dello zerovirgola però, non ti sembra? Che poi, è tanto o poco.... Boh!
Io non lo so, ma non mi dire che un secondo di caduta è una "cazzatella".
Mi interessa molto però: tu hai un'idea di che energia giustifica il quadro a fine crollo che hai disegnato? Ordine di grandezza, dico. Perché senza questa stima risulta un po' difficile ragionare.

Se invece ragioni anche tu sui dubbi, oh sì certo, se ne possono avere. È che più che i dubbi tu esprimi le certezze, e per me è difficile capire quanto siano motivate.

Inviato con la benevola approvazione del mio HAL9000

Ah, questo mi era sfuggito.

Rox ha scritto: Se quel "cubo" alto fosse caduto nell'acqua, per 300-400 metri, perfino così avrebbe avuto un rallentamento più significativo.

Grazie, l'acqua ha densità soltanto 815 volte volte quella dell'aria, un blocco di cemento da 300Kg se la volteggia giù a 3 m/s. In aria cade così un sassolino da 1 mm. Mi spieghi cosa dimostra questo argomento? È come la torre di lego, troppo distante dal caso reale per essere utile!

Inviato con la benevola approvazione del mio HAL9000